CURVAS DE BEZIER
Pierre Bézier,
ingeniero francés desarrollo
este método de aproximación de spline para utilizarlo en el
diseño de carrocerías de los automóviles Renault.
Las spline de Bézier tienen varias propiedades que hacen que sean
muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y
superficies. Así mismo, es fácil implementarla. Por esos
motivos las splines de Bézier están disponibles en
forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales
de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.
Curvas de Bézier
En general, es posible ajustar una
curva de Bézier para cualquier número de puntos de control. el número de puntos
de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el
grado de polinomio de Bézier.
La idea de definir geométricamente
las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas.
Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas(x1, y1) y aun punto B le
corresponde (x2, y2).para trazar una recta entre ambos basta con conocer
su posición.
.
Si en lugar de unir dos puntos con
una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva
Bézier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos. La forma de la
curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados puntos de
control, manejadores o manecillas.
Propiedades de Bézier.
1.
El grado de la base de polinomios es uno menos que la cantidad de puntos
de control.
2.
El primer y último punto de la curva coincide con el
primer y último punto del grafo de control.
3.
El vector tangente en los extremos de la curva tiene la
misma dirección que el primer y último segmento del grafo de control
respectivamente.
4.
Él tiene control global.
Desventajas de las curvas de Bézier
Para grafos de control complejos (formados por muchos puntos)
1.
El grado de la base es elevado
2.
Tienden a suavizar demasiado la geometría del grafo
de control
3.
Se tornan insensibles a pequeños cambios locales. El desplazamiento de
un solo punto de control casi no produce efecto en la curva
4.
El control global provoca que el desplazamiento de
un solo punto de control modifique a toda la curva.
Aplicaciones de la curva de Bézier
Las curvas de Bézier han sido
ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para
modelado de curvas suaves. Como la curva está completamente contenida en la
envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden
ser suavizados gráficamente sobre el área de trabajo y
usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones
afines tales como traslación y rotación pueden ser
aplicadas con gran facilidad a las curvas, aplicando
las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.
Curvas de B_Spline
Un spline es una curva diferenciable
definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los
splines se utilizan para aproximar formas complicadas.
La simplicidad de
la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen
oculares para la representación de curvas en informática
particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Curvas B-spline
Son las más utilizadas en la práctica:
1.-b-splines cuadráticos: fuentes
True Type.
2.-b-splens cúbicos: los más comunes
en programas de diseño gráfico.
En general, no pasa por ningún punto
de control (ni siquiera los extremos), aunque se pude forzar que lo haga.
Principales ventajas sobre las curvas
de Bézier:
1. Es de grado acotado (aun definida
por n puntos)
2. Sobre todo, más apropiada para el
diseño interactivo: más "suaves", control local.
Dado un conjunto de puntos P0,...Pn, obtenemos
una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las
ecuaciones de cada tramo están influenciadas solamente por
K vértices del polígono de control siendo K (orden de la B-spline)
un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y lógicamente,
K <n+1:
Los parámetros que intervienen en una curva B-spline se enumeran
a continuación:
·
P0,...Pn, n+1 vértices o puntos de control.
·
Ni,K: funciones B-spline básica de orden K.
·
d: grado de las B-spline básicas (elección usual,d=3).
·
K: orden de la B-spline: K=d+1.
·
N° de tramos: n-d+1.
·
suavidad global de la curva: CK-2=Cd-1.
Propiedades
·
No interpolen (salvo en P0, Pn, si así se especifica).
·
Paramétricas P (t)=(x (t), y (t)).
·
Suavidad Ck-2: K es el orden de la B-spline.
·
No oscilan.
·
Locales
·
Mayor flexibilidad: elección de nodos permiten más tipos de
curva.
Curvas Fractales
Un fractal es
un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite
a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y
deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas
estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un
objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no
entero.
Si bien el término
"fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran
bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más
comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron
establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
Fractales
en la naturaleza
Las formas de la naturaleza son fractales y
múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto
quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático
fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se
realiza en toda una franja de escalas,
limitadas por valores mínimos y máximos.
