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Curvas de Beizer, B-Spline y Fractales

CURVAS DE BEZIER

Pierre Bézier, ingeniero francés desarrollo este método de aproximación de spline para utilizarlo en el diseño de carrocerías de los automóviles Renault. Las spline de Bézier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y superficies. Así mismo, es fácil implementarla. Por esos motivos las splines de Bézier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.

Curvas de Bézier

En general, es posible ajustar una curva de Bézier para cualquier número de puntos de control. el número de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bézier.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas(x1, y1) y aun punto B le corresponde (x2, y2).para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición.

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Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva  Bézier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos. La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados puntos de control, manejadores o manecillas.

Propiedades de Bézier.

1.                 El grado de la base de polinomios es uno menos que la cantidad de puntos de control.

2.                 El primer y último punto de la curva coincide con  el primer y último punto del grafo de control.

3.                 El vector tangente en los extremos de la curva tiene la misma dirección que el primer y último segmento del grafo de control respectivamente.

4.                 Él tiene control global.

Desventajas de las curvas de Bézier

Para grafos de control complejos (formados por muchos puntos)

1.                 El grado de la base es elevado

2.                 Tienden a suavizar demasiado la geometría del grafo de control

3.                 Se tornan insensibles a pequeños cambios locales. El desplazamiento de un solo punto de control casi no produce efecto en la curva

4.                 El control global provoca que el desplazamiento de un solo punto de control modifique a toda la curva.

Aplicaciones de la curva de Bézier

Las curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. Como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser suavizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslación y rotación pueden ser aplicadas con gran facilidad a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.

Curvas de B_Spline

Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas.

La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen oculares para la representación de curvas en informática  particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. 

Curvas B-spline

Son las más utilizadas en la práctica:

1.-b-splines cuadráticos: fuentes True Type.

2.-b-splens cúbicos: los más comunes en programas de diseño gráfico.

En general, no pasa por ningún punto de control (ni siquiera los extremos), aunque se pude forzar que lo haga.

Principales ventajas sobre las curvas de Bézier:

1. Es de grado acotado (aun definida por n puntos)

2. Sobre todo, más apropiada para el diseño interactivo: más "suaves", control local.

Dado un conjunto de puntos P0,...Pn, obtenemos una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las ecuaciones de cada tramo están influenciadas solamente por K vértices del polígono de control siendo K (orden de la B-spline) un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y lógicamente, K <n+1:

Los parámetros que intervienen en una curva B-spline se enumeran a continuación:

·                     P0,...Pn, n+1 vértices o puntos de control.

·                     Ni,K: funciones B-spline básica de orden K.

·                     d: grado de las B-spline básicas (elección usual,d=3).

·                     K: orden de la B-spline: K=d+1.

·                     N° de tramos: n-d+1.

·                     suavidad global de la curva: CK-2=Cd-1.

Propiedades

·                     No interpolen (salvo en P0, Pn, si así se especifica).

·                     Paramétricas P (t)=(x (t), y (t)).

·                     Suavidad Ck-2: K es el orden de la B-spline.

·                     No oscilan.

·                     Locales

·                     Mayor flexibilidad: elección de nodos permiten más tipos de curva.

Curvas Fractales

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Fractales en la naturaleza

Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas, limitadas por valores mínimos y máximos.

Traslacion, Rotacion y Escalacion

Traslación, Rotación y Escalación
Todo cuerpo representado en un plano puede sufrir varios tipos de transformaciones en su estructura. Las transformaciones de tipo básico, como pueden ser la translación, Escalación y rotación de objetos.

Un objeto definido se construye a partir de una serie de puntos coordenados, desde los cuales se pueden aplicar diversas fórmulas para realizar un cambio de la figura.

1.3.1 Traslación, Rotación, Escalación

Traslación
Se pueden encontrar varias definiciones de traslación
Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra.
Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar".

La figura sigue viéndose exactamente igual, solo que en un lugar diferente.
 Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra.
Ejemplos

Rotación
Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.

Otra forma de conseguir la rotación, respecto a un punto de movimiento, es fijar los diferentes puntos respecto a un punto de fijación siendo los puntos que forman la figura, relativos a este.
La fórmula a aplicar en este último supuesto, sería la siguiente:
X' = X * Cos (àngulo) - Y * Sin(ángulo)
 Y' = Y * Cos (ángulo) - X * Sin(ángulo)

Ejemplos 

Escalación
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.
Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.
Esta es la transformación del objeto especialmente interesante, pues con ella se consigue el efecto Zoom.

Ejemplos:

Ecuacion de la Recta

Ecuacion de la Recta

Formatos de Imagenes

.jpg

jpg son las siglas de Joint Photographic Experts Group, el nombre del grupo que creó este formato. jpg es un formato de compresión de imágenes, tanto en color como en escala de grises, con alta calidad (a todo color).

Es un algoritmo diseñado para comprimir imágenes con 24 bits de profundidad o en escala de grises. Normalmente se le llama jpg debido a la extensión que tiene en sistemas operativos que sólo aceptan tres letras de extensión.

Se considera que el formato jpg es mejor para fotografía digital mientras que los formatos .gif y .png son mejor para imágenes gráficas.

La mayoría de los exploreadores actuales soportan este formato.

.PNG

El formato .PNG (Portable Network Graphics) tiene un nivel de compresión que casi no presenta pérdidas, ya que se utiliza un filtrado especial predictivo de las características y tono de cada pixel que integra la imagen.

La principal característica de este formato es que .PNG permite el uso de transparencias con bastante profundidad, ya sea completa o en ciertos píxeles utilizando diferentes canales.

Si bien no son óptimas para diseño de impresión de alto nivel, sí se utilizan para diseño web, o en condiciones no profesionales, debido a su peso moderado y buena administración del color.

.GIF

El famoso .GIF (Graphics Interchange Format), si bien es de baja calidad y ofrece una escasa profundidad de colores, permite unir varios cuadros para formar una animación. Cosa que lo hizo bastante popular. Cada cuadro puede tener una paleta de hasta 256 colores, lo que los hace livianos y el archivo animado resultante se reproduce sin problemas gracias a ese mismo bajo peso.

Si bien no se utiliza de forma estática por su baja calidad, las animaciones en GIF son muy populares y, actualmente, son una verdadera moda en la web.

.BMP

Cuando hablamos de imágenes estamos refiriéndonos generalmente a un "mapa de bits", y por eso .BMP es la extensión otorgada por Windows a esos archivos. El formato padre de varios de los ya nombrados, obviamente depende 100% de los píxeles y su información, por lo que no se puede comprimir, y preferentemente tampoco se debería escalar (si buscamos mantener calidad).

Básicamente, son imágenes que una vez creadas no deberían ser manipuladas, y que a pesar de poder llegar a mostrar excelente calidad, su relación con el peso del archivo las hace bastante descartables frente a otros formatos mencionados... Ya que obviamente: si buscamos esa impecable calidad, necesitaremos más píxeles, y por ende mayor peso de archivo.

Podríamos seguir, ya que son muchos los formatos existentes, pero esperamos haber despejado tus dudas acerca de los más importantes formatos de imágenes.

Áreas de Aplicación de la Graficacion

Diseño asistido por computadora

Este método, también llamado generalmente como CAD (Computer Assisted Desing) ahora se utiliza de forma habitual para el diseño de construcciones, automóviles, aeronaves, embarcaciones, naves espaciales, computadoras, incluso telas y muchos productos.

Normalmente, los paquetes de software de aplicaciones de CAD ofrecen los diseñadores un entorno con ventanas múltiples; estas diversas ventanas desplegables muestran secciones ampliadas de vistas de diferentes objetos. Estos paquetes de software están dirigidos principalmente para el campo de la arquitectura. Ofrecen a los diseñadores muchas herramientas de simbología para poder crear modelos realistas de sus construcciones.

Además de presentar despliegues de fachadas realistas, los paquetes de CAD para arquitectura ofrecen medios para experimentar con planos interiores tridimensionales y la iluminación. Muchas otras clases de sistemas y productos se diseñan usando ya sea paquetes de CAD generales o software de CAD desarrollado en forma especial.



Arte por computadora

Los artistas utilizan una variedad de métodos computacionales, incluyendo hardware para propósitos especiales, programas artísticos de brocha de pintar del artista (como Lumena), otros paquetes de pintura (como PixelPaint y SuperPaint), software desarrollado de manera especial, paquetes de matemática simbólica (como Mathematica), paquetes de CAD, software de edición electrónica de publicaciones y paquetes de animaciones que proporcionan los medios para diseñar formas de objetos y especificar movimientos de objetos.

Existen otros programas como Paintbrush (brocha de pintar) que permite a los artistas "pintar" imágenes en la pantalla de un monitor de video. En realidad, la imagen se pinta por lo general de manera electrónica en una tableta de gráficas (o digitalizador) utilizando un estilete, el cual puede simular diferentes trazos, anchuras de la brocha y colores. 
Los creadores de bellas artes emplean diversas tecnologías de computación para producir imágenes. Con el propósito de crear pinturas el artista utiliza una combinación de paquetes de modelado tridimensional, diagramación de la textura, programas de dibujo y software de CAD. En un ejemplo de "arte matemático" un artista utilizó una combinación de funciones matemáticas, procedimientos fractales, software de Mathematica, impresoras de chorro de tinta y otros sistemas con el fin de crear una variedad de formas tridimensionales y bidimensionales, al igual que pares de imágenes estereoscópicas.


Entretenimiento

Hoy en día es muy común utilizar métodos de gráficas por computadora para producir películas, videos musicales y programas de televisión. En ocasiones, se despliegan sólo imágenes gráficas y otras veces, se combinan los objetos con los actores y escenas en vivo. Como por ejemplo, en una escena gráfica creada para la película Start Trek II - The Wrath of Khan, se dibujan en forma de armazón el planeta y la nave espacial y se sombrean con métodos de presentación para producir superficies sólidas. Al igual que pueden aparecer personas en forma de armazón combinadas con actores y una escena en vivo. Los videos musicales aprovechan las gráficas de muchas maneras, se pueden combinar objetos gráficos con acción en vivo, o se pueden utilizar técnicas de procesamiento de imágenes para producir una transformación de una persona o un objeto en otro (a este efecto se le conoce como morphing).



Educación y capacitación

A menudo, se utilizan como instrumentos de ayuda educativa modelos de sistemas físicos, financieros y económicos, los cuales se generan por computadora. Modelos de sistemas físicos, sistemas fisiológicos, tendencias de población o equipo, pueden ayudar a los estudiantes a comprender la operación del sistema. En el caso de algunas aplicaciones de capacitación, se diseñan sistemas especiales, como los simuladores para sesiones de práctica o capacitación de capitanes de barco, pilotos de avión, operadores de equipo pesado y el personal de control de tráfico aéreo. Algunos simuladores no tienen pantallas de video; por ejemplo, un simulador de vuelo que sólo tiene un panel de control como instrumento de vuelo. No obstante, la mayor parte de los simuladores cuenta con pantallas gráficas para la operación visual.



Visualización 

Científicos, ingenieros, personal médico, analistas comerciales y otros con frecuencia necesitan analizar grandes cantidades de información o estudiar el comportamiento de ciertos procesos. Las simulaciones numéricas efectuadas en supercomputadoras frecuentemente producen archivos de datos que contienen miles y a veces millones de valores de datos. El rastreo de estos grandes conjuntos de números para determinar tendencias y relaciones es un proceso tedioso e ineficaz. Pero si se convierten los datos a una forma visual, es frecuente que se perciban de inmediato las tendencias y los patrones. Por lo regular, la producción de representaciones gráficas para conjuntos de datos y procesos científicos de ingeniería y de medicina se conoce como visualización científica. La codificación de colores es sólo una manera de visualizar un conjunto de datos. Las técnicas adicionales incluyen trazos, gráficas y diagramas de contorno, presentaciones de superficie y visualización de interiores de volumen. Además, se combinan técnicas de procesamiento de imágenes con gráficas por computadora para crear muchas de las visualizaciones de datos. Las comunidades de matemáticos, científicos físicos y otros utilizan técnicas visuales para analizar funciones matemáticas y procesos o sólo con el propósito de crear representaciones gráficas interesantes.





Interfaces Gráficas de Usuario

Hoy por hoy los paquetes de software ofrecen una interfaz gráfica. Un componente importante de una interfaz gráfica es un administrador de ventanas que hace posible que un usuario despliegue áreas con ventanas múltiples. Cada ventana puede contener un proceso distinto que a su vez puede contener despliegues gráficos y no gráficos. Las interfaces también despliegan menús e iconos para permitir una selección rápida de las opciones de procesamiento o de valores de parámetros. Un icono es un símbolo gráfico diseñado para semejarse a la opción de procesamiento que representa. La ventaja de los iconos es que ocupan menos espacio en la pantalla que las descripciones textuales correspondientes y que se pueden entender con mayor rapidez si están bien diseñados. Los menús contienen listas de descripciones textuales e iconos.

Que es la graficacion

Graficacion:

La computación gráfica es el campo de la informática visual, donde se utilizan computadoras tanto para generar imágenes visuales sintéticamente como integrar o cambiar la información visual y espacial probada del mundo real. 
Un gráfico es cuando existe algún trazo o marca que han sido hechos con intencionalidad. Lo gráfico, tiene por objeto representar (tomar el lugar de, o de presentar de nuevo) alguna cosa que no está.

                                                        

Historia de la Graficacion:

1950.

La graficación por computadora tuvo sus inicios con el surgimiento de lascomputadoras digitales. Una computadora digital como la Whirlwhin de la Mit fueuna de las primeras en utilizar una pantalla capaz de representar gráficos.

1955. 

El primer sistema gráfico SAGE (SemiAuutomaticGroundEnviorement) de la Fuerzas aéreas norteamericanas (US Air Force’s), es  desarrollado en el Lincoln Laboratory del MIT (Massachusetts Institute of Technology).El sistema SAGE procesaba datos de radar y otras informaciones de localizaciones de objetos mostrándolos a través de una pantalla CTR.

1959.

Surgió el primer sistema de dibujo por computadora, la DAC-1(Design Augmentedby Computers) Fue creado por General Motors e IBM. LaDAC-1 permitía al usuario describir un automóvil en 3D con la capacidad de rotar y cambiar el ángulo de la imagen.”

1960 - 1970.

Ivan Suterland (Estudiante de MIT), creó un programa que llamó Sketchpad,mediante el cual podía realizar trazos en la pantalla de la computadoraauxiliándose de una pluma de luz:

1961.

Otro estudiante del MIT, Steve Rusell creó el primer juego de video, llamado“ Spacewar ” o guerra espacial en español. Escrito para la DEC PDP-1, la guerraespacial fue un éxito inmediato.1963 E. E. Zajac un científico de la Bell Telephone Laboratory (BTL), creo unapelícula llamada "Simulation of a two-giro gravity attitude control system".

1970 – 1980.

Los años 70 consideraron la introducción de los gráficos por computadora en elmundo de la televisión. Computer Image Corporation (CIC), desarrolló sistemascomplejos de la dotación física y de software tales como ANIMAC, SCANIMATE yCAESAR.

1978.

El laboratorio central deFísica Aplicada de la UniversidadJohn-Hopkins publica un trabajoque se convertiría en la obra "Matematicalelements for computer graphics" de DavidF. Rogers. Esta sucedió desde esemomento una de las disciplinas importantetanto para el trazado de línea como en larepresentación de objetos naturales. Lainformática gráfica se hizo presente en lagestión, la Medicina, la televisión, laindustria del espectáculo, los videojuegos,la industria fílmica, y así en todas lasdisciplinas científicas, Matemáticas, Aeronáuticas, Mecánicas y otras muchasesferas del conocimiento.

1980 – 1990.

Turner Whitted publicó un artículo en el año 80 sobre un nuevo método de representación para simular superficies altamente reflexivas. Conocido hoy como raytracing.1999 – 2000. En 1993, la película Jurassic Park revoluciona los efectos visuales, al crear dinosaurios como nunca antes se habían visto, con la ayuda de las computadoras.

1999.

La empresa Autodesk tiene 1.000.000 usuarios de AutoCAD LT y 100.000 3D Studio.*2000: Autodesk inicia la venta por Internet de AutoCAD 2000.*2001: Presentación versión AutoCAD 2002. Destacan la función de asociación de funciones de las dimensiones en el dibujo, el editor gráfico de atributos. La definición de bloques y un conversor de capas asociado a la funcionalidad del gestor de normas. Orientación hacia Internet.

La disciplina originalmente se relacionó mucho a las técnicas de Tratamiento deImágenes .Su evolución no puede comprenderse sino con el análisis de suproducción digital, tanto dentro del tratamiento estático o dinámico dentro desus resultados.Esta define los gráficos, creados y generados por un ordenador, donde la gestiónse basa en una estación gráfica compuesta de elementos materiales como elProcesador y la Tarjeta gráfica, las herramientas de adquisición como eldigitalizador o la Cámara digital, las periféricos de interfaz de usuario como elratón o la Tablilla gráfica, de medios de almacenamiento como el Disco Duro olas memorias USB y de herramientas de reproducción como la impresora